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Dipartimento di Fisica

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Determinazione degli zeri non banali della funzione di Riemann come problema Hamiltoniano

  1. Dati del tirocinio

    Soggetto ospitante: UniversitÓ della Calabria

    Luogo: Gruppo di Fisica Teorica delle Interazioni Fondamentali

    Docente - Tutor accademico: Domenico Giuliano, Marco Rossi

    Contatto: domenico.giuliano@fis.unical.it; marco.rossi@fis.unical.it

    Periodo: giugno-luglio 2017

    CFU: 6 CFU, corrispondenti a 150 ore di impegno totale

  2. Obiettivi formativi:

    Il tirocinio sarà incentrato sullo studio e sull’applicazione di tecniche combinate di analisi complessa e di soluzione di problemi di meccanica quantistica alla soluzione di un problema ‘’classico’’ di matematica. Come risultati formativi ci si aspetta da un lato un buon apprendimento di tecniche avanzate di uso delle funzioni di variabile complessa, dall’altro una consistente familiarizzazione con problemi ‘’non convenzionali’’ di meccanica quantistica.

  3. Contenuti e programma:

    L'unico teorema esistente sui numeri primi è  la dimostrazione, riportata nel libro IX degli ''Elementi'' di Euclide, che essi sono infiniti. Pur non essendo provata, una delle ipotesi più interessanti sui numeri primi è la cosiddetta ''congettura di Riemann''. Essa riguarda il legame tra la densità dei numeri primi rispetto a tutti gli interi e i cosiddetti ''zeri non banali'' della funzione zeta di Riemann. La zeta di Riemann è una funzione di variabile complessa che presenta zeri ''banali'' in corrispondenza dei numeri interi negativi pari. L'ipotesi di Riemann afferma che tutti gli zeri non banali della funzione zeta cadano sulla retta Re (z)=1/2: la distribuzione di tali zeri risulterebbe direttamente collegata alla distribuzione dei numeri primi nell'insieme di tutti gli interi positivi.

     

     In quest'ambito, motivati da un recente lavoro apparso sulla prestigiosa rivista “Physical Review Letters” [1], si propone di studiare la costruzione di un operatore Hamiltoniano H con la proprietà che, una volta che opportune condizioni al contorno siano state imposte sulle sue autofunzioni, i suoi autovalori corrispondano alla parte immaginaria degli zeri non banali della funzione zeta.

     

     Da notare che, nell'ipotesi che in futuro la costruzione dell'operatore, sviluppata in maniera euristica in [1], venga resa rigorosa, in modo da mostrare che H sia manifestamente autoaggiunto, allora questo implicherebbe direttamente la verifica rigorosa dell'ipotesi di Riemann.

     

      [1] C. M. Bender, D. C. Brody, and M. P. Mueller, “Hamiltonian for the Zeroes of the Riemann Zeta Function”, Phys. Rev. Lett. 118, 130201 (2017).

     

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