Un proiettile viene lanciato con una velocità iniziale $v_{0}=100$ m/s ed inclinazione $\theta$, rispetto all'orizzontale. Trascurando la resistenza dell'aria, si determini se il proiettile potrà colpire un bersaglio posto ad una distanza $d$ dalla posizione iniziale del proiettile, $d=1,5$ km (si usi $g=10$ m/s$^{2}$).

Sia $\left(O,\overrightarrow{e_{x}},\overrightarrow{e_{y}}\right)$ il sistema di assi cartesiani rappresentato in figura.

In questo sistema di assi, $\overrightarrow{a}=-g\overrightarrow{e_{y}}$. Facendo una doppia integrazione rispetto al tempo e usando le condizioni iniziali si trova:

$$\begin{array}{ccc} x(t) & = & v_{0x}t\\ y(t) & = & -\frac{1}{2}gt^{2}+v_{Oy}t\end{array}$$

Dalla prima relazione si ottiene $t=x(t)/v_{0x}$. Sostituendo nella seconda, si ottiene l'equazione della traiettoria:

$$y(x)=-\frac{gx^{2}}{2v_{0x}^{2}}+\frac{v_{0y}x}{v_{0x}}$$

La gittata $x_{G}$ si ottiene risolvendo $y(x_{G})=0.$ Otteniamo:

$$\frac{x_{G}}{v_{0x}}\left(-\frac{gx_{G}}{2v_{0x}}+v_{0y}\right)=0$$

equazione che ammette due soluzioni: $x_{G}=0$ (che corrisponde al punto di partenza) e

$$x_{G}=\frac{2v_{0x}v_{0y}}{g}$$

che è il valore della gittata. Notando che $v_{0x}=v_{0}\cos(\theta)$ e $v_{0y}=v_{0}\sin(\theta)$ si ricava l'espressione di $x_{G}$ in funzione del modulo $v_{0}$ della velocità iniziale e dell'angolo iniziale:

$$x_{G}=\frac{2v_{0}^{2}\sin(\theta)\cos(\theta)}{g}=\frac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}$$

Il massimo di questa funzione si ottiene per $\theta=45^{\circ}$. In quel caso $\sin(2\theta)=1$ e $x_{G}=v_{0}^{2}/g=100^{2}/10=10^{3}\:\textnormal{m}=1\:\textnormal{km}$. Non si può colpire un bersaglio posto ad una distanza $d=1.5$ km perchè è superiore a questa gittata massima (1 km).