Due punti materiali sono posti alla quota $h_{1}=2$ m e $h_{2}=8$ m rispettivamente. All'istante $t=0$, vengono lanciati contemporaneamente con velocità $v_{1}$ e $v_{2}$ nella direzione orizzontale. Trascurando la resistenza dell'aria, si determini quanto vale il rapporto $v_{1}/v_{2}$ affinché entrambi i punti materiali abbiano la stessa gittata

Sia $\left(O,\overrightarrow{e_{x}},\overrightarrow{e_{y}}\right)$ il sistema di assi cartesiani rappresentato in figura.

In questo sistema di assi, $\overrightarrow{a}=-g\overrightarrow{e_{y}}$. Facendo una doppia integrazione rispetto al tempo e usando le condizioni iniziali si trova:

$$\begin{array}{ccc} x_{1}(t) & = & v_{1}t\\ y_{1}(t) & = & -\frac{1}{2}gt^{2}+h_{1}\end{array}$$

Dalla prima relazione si ottiene $t=x_{1}(t)/v_{1}$. Sostituendo nella seconda, si ottiene l'equazione della traiettoria:

$$y_{1}(x_{1})=-\frac{gx_{1}^{2}}{2v_{1}^{2}}+h_{1}$$

La gittata $x_{1G}$ si ottiene risolvendo $y_{1}(x_{1G})=0.$ Otteniamo:

$$x_{1G}=v_{1}\sqrt{\frac{2h_{1}}{g}}$$

Una relazione equivalente si può scrivere per il secondo punto materiale. Siccome $x_{1G}=x_{2G}$, si ottiene

$$v_{1}\sqrt{\frac{2h_{1}}{g}}=v_{2}\sqrt{\frac{2h_{2}}{g}}$$

e dunque

$$\frac{v_{1}}{v_{2}}=\sqrt{\frac{h_{2}}{h_{1}}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=2$$