Un punto materiale di massa $M$ è appoggiato ad una molla compressa, di costante elastica $k=10$ N/m. La molla risulta compressa di un tratto $d=10$ cm. Ad un certo istante la molla viene lasciata libera di espandersi ed il punto materiale scivola con attrito su di un piano orizzontale. Sapendo che il punto materiale si ferma dopo aver percorso un metro dalla sua posizione iniziale, e che il coefficiente d'attrito $\mu$ tra il piano ed il punto materiale è 0.5, si determini il valore di $M$.

Si può applicare il teorema dell'energia cinetica:

$$\Delta E_{c}=\sum_{i}W_{F_{i}}$$ (4)

La variazione di energia cinetica è nulla perché la velocità iniziale e la velocità finale sono entrambe nulle. Le forze che si applicano ad $M$ sono: la forza elastica (durante i primi dieci centimetri), la forza d'attrito, la forza peso e la reazione vincolare.

• Il lavoro della forza peso $\overrightarrow{P}$ è nullo perché il piano è orizzontale e la quota finale è la stessa della quota iniziale.
• Il lavoro della reazione vincolare $\overrightarrow{N}$ è nullo perché essa è sempre perpendicolare allo spostamento.
• Il lavoro della forza elastica $\overrightarrow{F_{e}}$ vale

$$L_{\overrightarrow{F_{e}}}=-\Delta E_{p}(\overrightarrow{F_{e}})=\frac{1}{2}kd^{2}$$

• Il lavoro della forza d'attrito $\overrightarrow{F_{a}}$

$$L_{\overrightarrow{F_{a}}}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}\overrightarrow{F_{a}}.\overrightarrow{dx}$$

siccome l'attrito è sempre parallelo e di verso opposto allo spostamento

$$L_{\overrightarrow{F_{a}}}=-\int_{x_{i}}^{x_{f}}F_{a}dx$$

e poiché $F_{a}$ è costante:

$$L_{\overrightarrow{F_{a}}}=-F_{a}\int_{x_{i}}^{xf}dx$$

Sostiuiamo $F_{a}$ con il suo valore in funzione della reazione vincolare $F_{a}=\mu N$ e sappiamo che $\int_{x_{i}}^{xf}dx=(x_{f}-x_{i})$

$$L_{\overrightarrow{F_{a}}}=-\mu N(x_{f}-x_{i})$$

La reazione vincolare compensa la forza peso (il piano è orizzontale) e dunque $N=Mg$

$$L_{\overrightarrow{F_{a}}}=-\mu Mg(x_{f}-x_{i})$$

Possiamo sostituire i valori dei lavori trovati nell'equazione (4):

$$0=\frac{1}{2}kd^{2}-\mu Mg(x_{f}-x_{i})$$

e dunque

$$M=\frac{kd^{2}}{\mu g(x_{f}-x_{i})}=\frac{10\times0.1^{2}}{0.5\times10\times1}=0.02\:\textnormal{kg}$$