Un proiettile viene lanciato da un'altezza $h_{0}=40$ m con velo- cità iniziale $\overrightarrow {v_{0}}$ diretta orizzontalmente. A distanza $d=20$ m è posto un muro di altezza $h_{1}=20$ m. Calcolare il valore minimo $\overrightarrow {v_{min}}$della velocità iniziale $\overrightarrow {v_{0}}$ affinché il proiettile possa superare il muro senza urtarlo. Assumendo che $\protect\overrightarrow{v_{0}}=\protect\overrightarrow{v_{\min}}$, calcolare l'istante di tempo $t_{1}$ nel quale il proiettile supera il muro e le componenti della velocità nell'istante $t_{1}$.

Dalla seconda legge di Newton si ottiene che il proiettile è sottoposto ad un'accelerazione $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}=-g\overrightarrow{e_{y}}$.

Effetuando una doppia integrazione rispetto al tempo ed usando le condizioni iniziali si trova:

$$\begin{array}{ccc} x(t) & = & v_{0}t+x_{0}\\ y(t) & = & -\frac{1}{2}gt^{2}+h_{0}\end{array}$$

Il tempo $t_{1}$ in cui il proiettile supera il secondo muro si trova scrivendo che $x_{1}=v_{0}t_{1}+x_{0}$ e vale:

$$t_{1}=\frac{x_{1}-x_{0}}{v_{0}}=\frac{d}{v_{0}}$$

Questo valore si può sostituire nell'equazione per $y(t)$:

$$y(t_{1})=h_{0}-\frac{1}{2}g\left(\frac{d}{v_{0}}\right)^{2}$$

Se vogliamo che il proiettile superi il muro, $y(t_{1})$ deve essere maggiore di $h_{1}$:

$$h_{0}-\frac{1}{2}g\left(\frac{d}{v_{0}}\right)^{2}\geq h_{1}$$

e dunque:

$$v_{0}\geq\sqrt{\frac{gd^{2}}{2(h_{0}-h_{1})}}$$

La velocità iniziale $v_{0}$ deve dunque essere maggiore di un valore $v_{\min}$, con:

$$v_{\min}=\sqrt{\frac{gd^{2}}{2(h_{0}-h_{1})}}=\sqrt{\frac{10\times20^{2}}{2\times(40-20)}}=10\:\textnormal{m}/\textnormal{s}$$

In questo caso:

$$t_{1}=\frac{d}{v_{0}}=\frac{20}{10}=2\:\textnormal{s}$$