Una pallina di massa $m=100$ g scende lungo un piano inclinato di un angolo $\alpha=60°$, privo di attrito, da un altezza $h=20$ cm. Calcolare il modulo della reazione vincolare esercitata dal pia- no inclinato. Calcolare la velocità $\overrightarrow {v_{1}}$ della pallina dopo aver percorso tutto il piano inclinato. Dopo aver disceso il piano inclinato, la prima pallina urta in modo totalmente anelastico un'altra pallina di massa $m=100$ g che si muove con velocità iniziale $v_{2}=1$ m/s diretta verso sinistra. Calcolare la velocità $\overrightarrow {V}$ delle due palline dopo l'urto.

Durante la discesa lungo il piano inclinato privo di attrito, la pallina è sottoposta alla sua forza peso $\overrightarrow{P}$ ed alla reazione vincolare $\overrightarrow{N}$ del piano inclinato. La seconda legge di Newton si scrive:

$$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{N}=m\overrightarrow{a}$$

La proiezione di questa legge lungo un asse cartesiano perpendicolare al piano orientato nello stesso verso di $\overrightarrow{N}$ è:

$$-mg\cos\alpha+N=0$$

Dunque

$$N=mg\cos\alpha=0.1\times10\times\cos(60°)=0.5\:\textnormal{N}$$

La velocità $v_{1}$ dopo aver percorso tutto il piano si ottiene dalla variazione di energia cinetica:

$$\Delta E_{c}=L_{\overrightarrow{P}}+L_{\overrightarrow{N}}$$

Il lavoro della reazione vincolare è sempre nullo, perché essa è perpendicolare allo spostamento. Il lavoro della forza peso vale $mgh$. La velocità iniziale è nulla: $v_{0}=0.$ Si ottiene:

$$\frac{1}{2}mv_{1}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}=mgh$$

o ancora:

$$v_{1}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times0.2}=2\:\textnormal{m}/\textnormal{s}$$

Dopo aver lasciato il piano inclinato, la pallina urta un'altra pallina di massa uguale. Essendo l'urto totalmente anelastico, le due palline rimangono attaccate. Si scrive la legge di conservazione della quantità di moto:

$$m\overrightarrow{v_{1}}+m\overrightarrow{v_{2}}=2m\overrightarrow{V}$$

Proiettando questa relazione lungo X, si ottiene:

$$mv_{1}-mv_{2}=2mV_{x}$$

$$V_{x}=\frac{v_{1}-v_{2}}{2}=\frac{2-1}{2}=0.5\textnormal{m}/\textnormal{s}$$