Due pendoli semplici di massa $M_{1}$ e $M_{2}$ e di uguale lunghezza l sono sospesi ad uno stesso punto. La massa $M_{1}$ viene portata ad un'altezza $h_{1}$ e successivamente lasciata libera. Dopo un urto elastico centrale tra le due masse si osserva che la massa $M_{2}$ si è sollevata di un'altezza $h_{2}=4/9\; h_{1}$, rispetto alla posizione di riposo. Si determini il rapporto tra le due masse (10 punti).

Sia $\overrightarrow {v_{1}}$ la velocità della massa $M_{1}$ giusto prima dell'urto, e siano $\overrightarrow{V_{1}}$ e $\overrightarrow{V_{2}}$ le velocità rispettive delle masse $M_{1}$ ed $M_{2}$ giusto dopo l'urto.

Dalla conservazione dell'energia meccanica durante il moto della massa $M_{1}$, immediatamente prima dell'urto, si puo scrivere che $M_{1}gh_{1}=\frac{1}{2}M_{1}v_{1}^{2}$ e dunque $v_{1}=\sqrt{2gh_{1}}$. Facendo lo stesso ragionamento per il moto di $M_{2}$ dopo l'urto, si ottiene $V_{2}=\sqrt{2gh_{2}}$ e dunque

$$V_{2}=\sqrt{2gh_{1}\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\sqrt{2gh_{1}}=\frac{2}{3}v_{1}$$ (1)

Durante l'urto, la quantità di moto si conserva:

$$M_{1}\overrightarrow{v_{1}}=M_{1}\overrightarrow{V_{1}}+M_{2}\overrightarrow{V_{2}}$$ (2)

Siccome l'urto è elastico centrale, l'energia cinetica di traslazione è anche conservata:

$$\frac{1}{2}M_{1}v_{1}^{2}=\frac{1}{2}M_{1}V_{1}^{2}+\frac{1}{2}M_{2}V_{2}^{2}$$ (3)

Chiamiamo $R$ il rapporto tra le masse, $R=M_{2}/M_{1}$. L'equazione (2) si può riscrivere

$$v_{1}=\sigma V_{1}+RV_{2}$$

(con $\sigma=1$ se $\overrightarrow {v_{1}}$ e $\overrightarrow{V_{1}}$ hanno lo stesso verso e $\sigma=-1$ se hanno versi opposti). L'equazione (3) si riscrive

$$v_{1}^{2}=V_{1}^{2}+RV_{2}^{2}$$

Usando l'equazione (1) si ottiene, per l'eq. (2) che

$$v_{1}=\sigma V_{1}+\frac{2}{3}Rv_{1}$$

e, per l'eq. (3):

$$v_{1}^{2}=V_{1}^{2}+\frac{4}{9}Rv_{1}^{2}$$

Dalla (2) si ricava:

$$\sigma V_{1}=(1-\frac{2}{3}R)v_{1}$$

e dunque

$$V_{1}^{2}=(1+\frac{4}{9}R^{2}-\frac{4}{3}R)v_{1}^{2}$$

che possiamo sostituire nell'eq. (3):

$$v_{1}^{2}=(1+\frac{4}{9}R^{2}-\frac{4}{3}R)v_{1}^{2}+\frac{4}{9}Rv_{1}^{2}$$

da cui si ottiene:

$$1=1+\frac{4}{9}R^{2}-\frac{4}{3}R+\frac{4}{9}R\Rightarrow0=R-3+1\Rightarrow R=2$$